Dans une grande poêle, faites chauffer l’huile à feu moyen, ajoutez l’oignon et faites-le suer pendant 20 à 25 min en remuant de temps en temps, jusqu’à ce qu’il soit fondant et caramélisé. Avec une cuillère, débarrassez l’oignon dans une assiette. N’essuyez pas la poêle.

Disposez les lamelles de courgette dans la poêle en une seule couche (s’il ne reste pas assez d’huile de la cuisson des oignons, ajoutez-en un peu) et faites-les dorer pendant 3 à 4 min, puis retournez-les et faites-les dorer sur l’autre côté pendant 3 à 4 min de plus. Ajoutez la courgette à l’oignon et réservez. Essuyez la poêle.

Procédez au montage : pour chaque croque-mademoiselle, tartinez une tranche de pain d’une cuillère à café de moutarde, parsemez de thym, déposez la moitié du mélange oignon-courgette (et éventuellement deux tranches de jambon) et terminez avec une seconde tranche de pain tartinée de moutarde.

Faites chauffer la poêle sur feu moyen. Sans défaire les croques, étalez du beurre fondu sur leur face supérieure, puis placez-les dans la poêle, face beurrée contre la poêle. Faites dorer le premier côté pendant environ 1 min en ajustant l’intensité du feu si nécessaire. Étalez ensuite le reste du beurre fondu sur la seconde face (celle du dessus), retournez les croques et déposez une cuillérée de fromage râpé sur chacun. Le fromage devrait fondre en 1 ou 2 min, le temps que le second côté se dore.

Déposez un œuf au plat sur les croques si vous le souhaitez, et servez chaud.